不等式的解题方法与技巧 有什么方法

文/安洛
专题:

高中数学不等式一般常考的主要有两个:基本不等式和绝对值不等式。尤其是基本不等式:几何平均值<=算术平均值。注意到“一正”,“二定”,“三相等”,一般用采用拼凑法或待定系数法来构造满足条件的两项或三项,使其乘积为一定值。

不等式的解法是什么

(1) 不等式的有关概念

同解不等式:两个不等式如果解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式。

同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做同解变形。

提问:请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形

去分母、去括号、移项、合并同类项

(2) 不等式ax > b的解法

①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a};

②当a<0时不等式的解集是{x|x

③当a=0时,b<0,其解集是R;b0, 其解集是ф。

(3) 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

(4)绝对值不等式

解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想,分类讨论)转化为不含绝对值的不等式,通常有下列三种解题思路:

(1)定义法:利用绝对值的意义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;

(2)公式法:| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a

(3)平方法:| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;(4)几何意义。

(5)分式不等式的解法

(6)一元高次不等式的解法

数轴标根法

把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正),然后分解因式,再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来,从右边入手画线,最后根据曲线写出不等式的解。

(7)含有绝对值的不等式

定理:|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|

? |a| - |b|≤|a+b|

中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立

? |a+b|≤|a| + |b|

中当且仅当ab≥0等号成立

推论1:|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|

推广:|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|

推论2:|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|

不等式解题方法是什么

1. 直接解法:根据不等式的性质,如传递性、同向相加等,对不等式进行求解。

2. 配方法:通过配方将不等式转化为完全平方形式,进而求解。适用于形如 \(a^2 - b^2 > 0\) 的一元二次不等式。

3. 因式分解法:先对不等式进行因式分解,然后根据不等式的性质求解。例如 \((x-1)(x-3) > 0\),可以通过分析根的情况来解决。

4. 图像法:对于一些线性式,可以通过绘制函数图像的方法来求解。

5. 绝对值不等式解法:利用绝对值的性质,将绝对值不等式转化为两个不等式来求解。

6. 参数分离法:将式中的参数移到一边,常用于求解含参数的不等式。

7. 数形结合法:利用数轴和几何图形来求解不等式,例如 \(x > 2\) 或 \(x \leq 5\)。

8. 单调性法:利用函数的单调性求解不等式。

9. 变换不等式法:通过适当变换,将不等式转化为容易解决的形式。例如,通过变量替换或不等式两边同乘以一个正数或负数。

10. 反证法:假设不等式的反面成立,通过逻辑推理得出矛盾,从而证明原不等式成立。

11. 利用不等式的性质:如对于正数,算术平均值大于等于几何平均值(AM-GM不等式)。

在解不等式时,选择合适的方法是关键。往往需要综合运用多种方法,并注意不等式的定义和性质。同时,分类讨论和逻辑推理也是解决不等式问题的重要技巧。

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